Komplexné čísla. Význam a vývoj "imaginárnych veličín"

Čísla sú základné matematické objekty,potrebné na rôzne výpočty a výpočty. Celkový počet prirodzených, celočíselných, racionálnych a iracionálnych číselných hodnôt tvorí súbor takzvaných reálnych čísel. Existuje však aj dosť nezvyčajná kategória - komplexné čísla, definované René Descartes ako "imaginárne hodnoty". A jeden z popredných matematikov z 18. storočia navrhol Leonard Euler označiť ich písmenom i z francúzskeho slova imaginare (imaginárne). Čo sú zložité čísla?

Takzvané výrazy formy a + bi, v ktorých aa b sú reálne čísla a i je digitálny indikátor špeciálnej hodnoty, ktorého štvorec je -1. Operácie s komplexnými číslami sa vykonávajú rovnakými pravidlami ako rôzne matematické operácie na polynomiáloch. Táto matematická kategória nevyjadruje výsledky žiadnych meraní alebo výpočtov. Aby ste to dosiahli, stačí mať reálne čísla. Prečo potom skutočne potrebujú?

Komplexné čísla, ako matematický koncept,sú potrebné, pretože niektoré rovnice s reálnymi koeficientmi nemajú riešenie v oblasti "obyčajných" čísel. V dôsledku toho, aby sa rozšíril rozsah riešenia nerovností, bolo nevyhnutné zaviesť novú matematickú kategóriu. Komplexné čísla, ktoré majú hlavne abstraktnú teoretickú hodnotu, umožňujú riešiť takéto rovnice ako x² +1 = 0. Je potrebné poznamenať, že napriek svojej zdanlivej formality táto kategória čísiel pomerne aktívny a je široko používaný, napríklad riešiť rad praktických problémov teórie elasticity, elektrotechniky, aerodynamiky a hydromechaniky, atómovej fyziky a ďalších vedeckých odborov.

Použijú sa argumenty modulu a komplexného číslapri vytváraní grafov. Táto forma písania sa nazýva trigonometrická. Okrem toho geometrická interpretácia týchto čísel ďalej rozšírila rozsah ich aplikácie. Bolo možné ich použiť na rôzne kartografické výpočty.

Matematika prešla ďaleko od najjednoduchšíchprirodzené čísla až po zložité komplexné systémy a ich funkcie. Na túto tému môžete napísať samostatnú učebnicu. Tu uvažujeme len niektoré evolučné momenty teórie čísel, aby sa objasnili všetky historické a vedecké predpoklady pre vznik danej matematickej kategórie.

Staroveký grécky matematici boli braní do úvahy"Skutočné" výlučne prirodzené čísla, ktoré možno použiť na počítanie čokoľvek. Už v druhom tisícročia pred nl. e. starovekí Egypťania a Babylonci v rôznych praktických výpočtoch aktívne používali frakcie. Ďalším dôležitým medzníkom vo vývoji matematiky bol vzhľad negatívnych čísel v starovekej Číne dvesto rokov pred našou éru. Tiež ich používal staroveký grécky matematik Diophantus, ktorý poznal pravidlá najjednoduchších operácií na nich. Pomocou záporných čísel bolo možné opísať rôzne zmeny v množstve nielen v pozitívnej rovine.

V siedmom storočí nášho veku bolo presne stanovené,že štvorcové korene pozitívnych čísel vždy majú dve hodnoty - okrem pozitívnych, aj negatívnych. Z druhého z nich sa považovalo za nemožné extrahovať druhú odmocninu obvyklými algebraickými metódami tej doby: neexistuje hodnota x taká, že x² = ─ 9. Dlho to naozaj nezáležalo. Až v šestnástom storočí, kedy tam boli a boli aktívne študoval kubické rovnice, že je potrebné získať druhej odmocniny záporných čísel, ako vo vzorci pre riešenie týchto výrazov obsahuje nielen kocku, ale aj druhej odmocniny.

Takýto vzorec je bezchybný, ak rovnica nie jeviac ako jeden skutočný koreň. V prípade prítomnosti troch skutočných koreňov v rovnici, keď boli vyliečené, bolo získané číslo so zápornou hodnotou. Tak sa ukázalo, že cesta k extrakcii troch koreňov spočíva v operácii nemožnej z hľadiska matematiky tej doby.

Vysvetliť výsledný paradoxTaliansky algebraik J. Cardano bol požiadaný, aby zaviedol novú kategóriu čísel neobvyklého charakteru, ktoré sa nazývajú komplexné. Je zaujímavé, že Cardano ich považoval za zbytočné a všetkými možnými spôsobmi sa snažil vyhnúť používaniu tej istej matematickej kategórie, ktorú navrhol. Ale už v roku 1572 sa objavila kniha ďalšieho talianskeho algebraistu Bombelliho, kde boli podrobne opísané pravidlá operácií s komplexnými číslami.

Počas celého sedemnásteho storočia,diskusia o matematickej povahe týchto čísel a možnosti ich geometrickej interpretácie. Tiež sa postupne rozvíjala a zlepšovala technika práce s nimi. A na prelome 17. a 18. storočia, všeobecná teória komplexných čísel bola vytvorená. Obrovský prínos k rozvoju a zlepšovaniu teórie funkcií komplexnej premennej bol predstavený ruskej a sovietskej vedca. Muskhelishvili zaoberá vo svojej aplikácii na problematiku teórie pružnosti, ktoré Keldysh a Lavrentiev komplexné čísla bola použitá v oblasti hydro- a aerodynamiky a Vladimír Bogolyubov - v kvantovej teórii poľa.